2週間前、arXivのプレプリントサーバーに「On the invariant subspace problem in Hilbert spaces」という地味なタイトルの論文がアップロードされた。この論文はわずか13ページで、参考文献リストにはたった1つの項目しかない。

この論文には、数学者が半世紀以上にわたって取り組んできた「不変部分空間問題」というジグソーパズルの最後のピースが含まれているとされている。

有名な未解決問題には、自分の名を世に知らしめようとする興味深い人物による野心的な解決への試みがしばしば見られる。しかし、そのような試みは、たいてい専門家によってすぐに打ち消されてしまう。

しかし、このショートノートの著者であるスウェーデンの数学者Per Enfloは、野心的な新進気鋭の人物ではない。彼はもうすぐ80歳で、オープンな問題を解いて有名になり、この問題にはかなりの歴史がある。

Per Enflo: 数学、音楽、そして生きたガチョウ

1944年に生まれ、現在オハイオ州ケント州立大学の名誉教授であるEnfloは、数学だけでなく音楽においても目覚ましいキャリアを積んできた。

コンサートピアニストとしても有名で、数多くのピアノ協奏曲を演奏・録音しているほか、ソロやオーケストラとの共演も世界各地で行っている。

Enfloは、関数解析と呼ばれる分野の偉大な問題解決者の一人でもある。Enfloは、不変部分空間問題のほかに、40年以上にわたって未解決だった基底問題と近似問題という二つの大きな問題を解決した。

近似問題を解くことで、Enfloは「マズルのガチョウ問題」と呼ばれる同等のパズルを解き明かした。ポーランドの数学者Stanisław Mazurは、1936年に自分の問題を解いた人に生きたガチョウを贈ることを約束したのだが、1972年、彼は約束を守り、エンフロにガチョウを贈った。

不変部分空間って何？

さて、主人公はわかった。しかし、不変部分空間問題そのものはどうなのだろうか？

大学1年生の線形代数の授業を受けたことがある人なら、ベクトル、行列、固有ベクトルというものを目にしたことがあると思う。ベクトルとは、あるベクトル空間に住む、長さと方向を持った矢印のことだ。(ベクトル空間には、さまざまな次元数、さまざまな法則がある）。

行列とは、ベクトルの方向や長さを変えることによって、ベクトルを変形させることができるものだ。ある行列が特定のベクトルの長さだけを変換する場合（方向が同じか反対方向に反転することを意味する）、そのベクトルをその行列の固有ベクトルと呼ぶことにする。

別の言い方をすれば、行列は固有ベクトル（および固有ベクトルに平行な直線）を自分自身に変換する。これらの直線は、この行列に対して不変だ。これらの直線をまとめて、行列の不変部分空間と呼ぶ。

固有ベクトルと不変部分空間は、数学以外の分野でも注目されている。例えば、Googleの成功は「250億ドルの固有ベクトル」に負っていると言われている。

無限の次元を持つ空間はどうだろうか？

つまり、それが不変部分空間だ。不変部分空間問題はもう少し複雑で、無限の次元を持つ空間について、その空間内のすべての線形演算子（行列に相当）が不変部分空間を持たなければならないかどうかを問うものである。

より正確には、不変部分空間問題は、複素バナッハ空間X上のすべての有界線形作用素Tが、Xの非自明な不変部分空間Mを認めるかどうかを問うもので、T（M）がMに戻るようにXの部分空間M≠{0}, Xが存在するという意味である。

このように、不変部分空間問題は前世紀の中頃に提起され、解決に向けたあらゆる試みから逃れてきたものである。

しかし、数学者が問題を解決できないときによくあることだが、ゴールポストを移動させるのだ。この問題に取り組んでいた数学者たちは、問題を空間と演算子の特定のクラスに限定することで焦点を絞った。

最初の突破口は、1970年代にEnfloによってもたらされた（ただし、彼の結果が発表されたのは1987年であった）。彼は、自明な不変部分空間を持たないバナッハ空間上の作用素を構成することで、この問題に否定的な答えを出した。

この新しい解決策の提案のどこが新しいのか？

では、不変部分空間問題の現状はどうなっているのだろうか。1987年にEnfloが解決したのなら、なぜまた解決したのだろうか？

さて、Enfloはバナッハ空間一般についてこの問題を解決した。しかし、バナッハ空間の中でも特に重要なヒルベルト空間というものがあり、これは幾何学的な意味合いが強く、物理学、経済学、応用数学などで広く使われている。

ヒルベルト空間上の作用素の不変部分空間問題の解決は頑固なまでに困難であり、Enfloはこれを達成したと主張する。

彼の論文は、ヒルベルト空間上のすべての有界線形作用素が不変部分空間を持っていることを論証している。

専門家によるレビューはまだ先だ

私は、Enfloのプレプリントを一行一行読んでいない。Enflo自身は、まだ専門家のレビューを受けていないため、この解答には慎重であると言われている。

バナッハ空間全般に関するEnfloの先行証明の査読には、数年かかった。しかし、その論文は100ページ以上に及んだので、今回の13ページの論文の査読は、より迅速に行われるはずだ。

もし正しければ、これほど大きなスパンですでに多くの顕著な成果を出している人物としては、驚くべき業績となるだろう。Enfloの数学への多くの貢献と、多くの未解決問題への回答は、新しい技術やアイデアを生み出し、この分野に大きな影響を与えている。

Enfloの研究が不変部分空間の問題に終止符を打つのかどうか、そしてその結論から生まれるかもしれない新しい数学を見るのが楽しみだ。

本記事は、Nathan Brownlowe氏によって執筆され、The Conversationに掲載された記事「Has a mathematician solved the ‘invariant subspace problem’? And what does that even mean?」について、Creative Commonsのライセンスおよび執筆者の翻訳許諾の下、翻訳・転載しています。