数学的宇宙を探る – 繋がり、矛盾、そしてケール

科学と数学のスキルは、経済や技術の進歩の鍵として広く称賛されているが、抽象的な数学は、産業の最適化や医療画像診断とは不可解なほどかけ離れているように思われるかも知れない。純粋数学はしばしば予期せぬ応用をもたらすが、未来を見通すタイムマシンがなければ、私のような数学者はどのように勉強するものを選べば良いだろうか？

タイ・ヌードルを食べながら、何が問題を面白くするのかを同僚に尋ねると、驚き、矛盾、パターン、例外、特殊なケース、関連性など、たくさんの提案があった。これらの答えは全く異なって聞こえるかも知れないが、いずれも数学的宇宙を探索すべき構造としてとらえることの裏付けとなるものだ。

このように考えると，数学者は体の仕組みを学ぶ解剖学者，あるいは新しい海域を開拓する航海士のようなものである．私たちが投げかける質問には様々な形があるが、最も興味深いのは、全体像をより明確に把握するのに役立つ質問であることだ。

地図の作成

数学的なものにはいろいろな形がある。数字や図形など、身近なものもあるだろう。また、方程式、関数、対称性など、よりエキゾチックに見えるものもある。

数学者は、単に対象物の名前を挙げるのではなく、対象物のクラスがどのように構成されているかを問うかも知れない。素数が無限にあることは知っているが、その出現頻度を調べたり、効率的に識別したりするためには、構造的な理解が必要である。

また、一見すると異なるものの関係を探るのも良い質問だ。例えば、形には対称性があるが、ある方程式の解にも対称性がある。

対象を分類し、それらの間につながりを見出すことは、数学的世界の首尾一貫した地図を組み立てるのに役立つ。その過程で、私たちが推論したパターンを覆すような驚くべき事例に遭遇することもある。

このような明らかな矛盾は、私たちの理解がまだ不足している部分を明らかにし、それを解決することで貴重な洞察を得ることができるのだ。

三角形の例

三角形は、明白な矛盾を示す有名な例である。多くの人は、三角形といえば、3本の線分をつないだ形と考えるだろうし、紙の上に描ける幾何学的な形としては、これで十分だろう。

しかし、この三角形の概念には限界がある。球体やケールの葉のように直線がない表面では、もっと柔軟な定義が必要だ。

そこで、平らでない面にも幾何学を適用するために、心の広い数学者は新しい三角形の定義を提案するかも知れない。3つの点を選び、その間を最短距離で結ぶのだ。

これは、一般化として優れているが、同時に新しい領域も開拓している。19世紀に数学者がこの一般化された三角形を初めて研究したとき、数千年来の謎が解け、数学に革命をもたらした。

平行四辺形の問題

紀元前300年頃、ギリシャの数学者エウクレイデスが『エレメント』と呼ばれる平面幾何学の論文を書いた。この著作では、基本原理とそこから論理的に導かれる結果の両方が提示されている。

その原理のひとつである「平行線公理」は、「どんな三角形でも角の和は180°である」という記述と等価である。しかし、後の数学者たちは、平行線公理を基本原理とすべきか、それとも他の基本的な仮定の帰結に過ぎないのかについて議論した。

この謎は1800年代まで続いたが、数学者たちは証明がなぜこれほどまでに困難であったかを理解した。

球体上では、三角形の辺は互いに離れて曲がり、角度の合計は180°以上になる。波打ったケールの葉では、辺が互いに向かって曲がり、角の和は180°より小さくなる。

角の和が見かけ上の法則を破る三角形は、エウクレイデスが想像もしなかったような幾何学が存在することを明らかにしたのである。これは、物理学、コンピュータグラフィックス、高速アルゴリズムなどに応用できる、深い真理である。

サラダの日

数学は発見されたものか発明されたものか、という議論があるが、数学を生業としている私たちにとっては、どちらの視点も現実味を帯びている。ケール上の三角形は、私たちが気づこうが気づくまいが、やせ細ったものだが、研究する質問を選択することは創造的な仕事だ。

興味深い問題は、私たちが理解しているパターンと、それを覆すような例外との間の摩擦から生まれる。明らかな矛盾を解決し、新たな矛盾を発見する道を開いたとき、進歩がもたらされるのだ。

今日、私たちは2次元の表面の幾何学についてよく理解しているので、高次元の物体についての同様の疑問に対して自分自身を試してみることができる。

この数十年の間に、3次元空間にも生来の幾何学があることが分かってきた。最も興味深いのは双曲幾何学と呼ばれるもので、カールしたケールの3次元版のような働きをすることが分かっている。私の研究分野では、どのような3次元空間に対しても答えられる問題がたくさんある…双曲幾何学以外の問題だ。

高次元では、まだ答えよりも疑問の方が多いのだが、4次元幾何学の研究はサラダ時代に入りつつあると言っても良いだろう。

本記事はThe Conversationに掲載された記事「Exploring the mathematical universe – connections, contradictions, and kale」について、Creative Commonsのライセンスおよび執筆者の翻訳許諾の下、翻訳・転載しています。